Disciplinas do PPGM


Nome Sigla Créditos Carga horária
ÁLGEBRA MATE - 7000 4 60
ÁLGEBRA LINEAR APLICADA MATE - 7002 4 60
ALGEBRA LINEAR AVANÇADA MATE - 7003 4 60
ANÁLISE COMPLEXA MATE - 7005 4 60
ANÁLISE FUNCIONAL MATE - 7007 4 60
ANALISE NUMÉRICA I MATE - 7008 4 60
ANÁLISE NUMÉRICA II MATE - 7009 4 60
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS MATE - 7010 4 60
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS MATE - 7011 4 60
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE EVOLUÇÃO MATE - 7012 4 60
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS ELÍPTICAS MATE - 7013 4 60
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES MATE - 7014 4 60
ESTÁGIO SUPERVISIONADO EM PRÁTICA DE DOCÊNCIA MATE - 7015 2 30
FÍSICA MATEMÁTICA I MATE - 7021 4 60
FÍSICA MATEMÁTICA II MATE - 7022 4 60
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS COMPLEXAS MATE - 7024 4 60
GEOMETRIA DIFERENCIAL MATE - 7026 4 60
MEDIDA E INTEGRAÇÃO MATE - 7028 4 60
MÉTODOS DE ELEMENTOS FINITOS I MATE - 7029 4 60
MÉTODOS DE ELEMENTOS FINITOS II MATE - 7030 4 60
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS MATE - 7033 4 60
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS MATE - 7034 4 60
OPERADORES PSEUDODIFERENCIAIS MATE - 7035 4 60
OTIMIZAÇÃO I MATE - 7036 4 60
OTIMIZAÇÃO II MATE - 7037 4 60
OTIMIZAÇÃO III MATE - 7038 4 60
PESQUISA OPERACIONAL I MATE - 7039 4 60
PESQUISA OPERACIONAL II MATE - 7040 4 60
SEMIGRUPOS DE EQUAÇÕES DE EVOLUÇÃO MATE - 7041 4 60
SISTEMAS INVOLUTIVOS MATE - 7051 4 60
TEORIA DAS DISTRIBUIÇÕES E ANÁLISE DE FOURIER MATE - 7052 4 60
TEORIA MATEMÁTICA DA DINÂMICA DOS FLUIDOS MATE - 7053 4 60
TEORIA MATEMÁTICA DO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS MATE - 7054 4 60
TOPOLOGIA ALGÉBRICA MATE - 7063 4 60
TOPOLOGIA GERAL MATE - 7065 4 60
APRENDIZAGEM DE MÁQUINA MATE - 7068 4 60
GRUPOIDES E ALGEBROIDES DE LIE MATE - 7069 4 60
GEOMETRIA DE POISSON MATE - 7070 4 60
ANÁLISE EM VARIEDADES MATE - 7071 4 60
CÁLCULO DAS VARIAÇÕES MATE - 7072 4 60
GEOMETRIA RIEMANNIANA MATE - 7073 4 60
VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS II MATE - 7074 4 60
ATRATORES DE SISTEMAS DINÂMICOS MATE - 7075 4 60
TEORIA DE AUSLANDER-REITEN MATE - 7076 4 60
TEORIA DE CATEGORIAS MATE - 7077 4 60
TEORIA INCLINANTE MATE - 7078 4 60
GEOMETRIA ALGÉBRICA MATE - 7079 4 60
CATEGORIAS DERIVADAS MATE - 7080 4 60
ÁLGEBRAS DE HOPF MATE - 7081 4 60
ÁLGEBRA COMUTATIVA MATE - 7082 4 60
ÁLGEBRA HOMOLÓGICA E SEQUÊNCIAS ESPECTRAIS MATE - 7083 4 60
INTRODUÇÃO ÀS ÁLGEBRAS NÃO ASSOCIATIVAS MATE - 7084 4 60
INTRODUÇÃO ÀS ÁLGEBRAS DE LIE MATE - 7085 4 60
ANÁLISE NO RN MATE - 7086 4 60
VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS I MATE - 7087 4 60
GEOMETRIA SIMPLÉTICA MATE - 7088 4 60
ÁLGEBRAS E MÓDULOS MATE - 7090 4 60
SEMINÁRIOS EM MATEMÁTICA  I MATE - 7091 1 15
SEMINÁRIOS EM MATEMÁTICA II MATE - 7092 2 30
SEMINÁRIOS EM MATEMÁTICA III MATE - 7093 4 60
TÓPICOS EM MATEMÁTICA I MATE - 7094 2 30
TÓPICOS EM MATEMÁTICA  II MATE - 7095 4 60


 

 

Ementas

 

MATE – 7000      ÁLGEBRA

Grupos, subgrupos, homomorfismos e grupos quocientes, grupos de permutação e ação de grupos, grupos livres e apresentações de grupos. Séries de Composição, séries centrais, grupos nilpotentes, grupos simples, grupos solúveis, decomposição direta. Anéis, subanéis, ideais, homomorfismos e anéis quocientes. Tópicos em Álgebra: Grupos abelianos, grupos de torção e grupos divisíveis, subgrupos puros e p-puros, grupos livres de torção; Radical de Jacobson, estrutura dos anéis semi-simples, anéis de grupo e o problema da J-semi-simplicidade; Módulos sobre álgebras de dimensão finita; Representações de grupos e módulos sobre álgebras de grupos, caracteres, produto tensorial e representações, aplicações.

 

Bibliografia:

F. W. Anderson, K. Fuller, Rings and Category of Modules (2nd Edition). Springer, 1998. 

M. Artin, Algebra (2nd Edition). Addison Wesley, 2010.

J.B. Fraleigh, A first course in Abstract Algebra (7th Edition). Pearson, 2002.

G. Berhuy, Algèbre: le grand combat, Calvage et Mounet, 2020

J.J. Rotman, Advanced Modern Algebra (3rd Edition, Part I), American Mathematical Society, 2015. 

J.J. Rotman, Advanced Modern Algebra (3rd Edition, Part II), American Mathematical Society, 2017. 

J.J. Rotman, An introduction to the Theory of Groups (4th Edition). Springer, 1994.

R. Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, CRC Press, 1991. 

 

 

MATE – 7002      ÁLGEBRA LINEAR APLICADA

 

Decomposição LU, método de Eliminação Gaussiana. Transformações ortogonais: Householder e Givens. Decomposição QR, Cholesky, Schur, espectral e SVD. Métodos para o cálculo de valores singulares. Autovalores e autovetores. Matriz de Hessenberg. O problema de quadrados mínimos.  Pseudoinversas.

 

Bibliografia:

GOLUB, G.; VAN LOAN, C. Matrix Computations. 3rd ed. John Hopkins University Press, 1996.

HORN, R.; JOHNSON, C. Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985.  HORN, R.; JOHNSON, C. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1991. 

STEWART, G. Introduction to Matrix Computation. Academic Press, 1981.

P. J. Olver, C. Shakiban, Applied Linear Algebra, 2nd Ed., Springer, New York, 2018.

 

 

MATE – 7003 ALGEBRA LINEAR AVANÇADA

 

Revisão de espaços vetoriais, transformações lineares e determinantes. Formas Canônicas Elementares. Espaços com produto interno, operadores unitários e normais. Formas bilineares. Tensores. Tópicos em Álgebra Linear

 

Bibliografia:

K. Hoffman and R. Kunze, Linear Algebra, 2nd Ed., Prentice-Hall,

Englewood Cliffs, NJ, 1971.

E. L. Lima, Álgebra Exterior, 2a Ed. Ed IMPA, 2017.

J. R. Munkres, Analysis on Manifolds, Addison-Wesley, 1997.

S. Roman, Advanced Linear Algebra, 3nd Ed., Springer, New York, 2008.

W. Greub, Linear Algebra, 4th Ed., Springer, New York, 1981.

W. Greub, Multilinear Algebra, 2nd Ed., Springer, New York, 1978.

A.I. Kostrikin, Y.I. Manin,  Linear algebra and geometry, Gordon and Breach, 1989

F. U. Coelho, M. L. Lourenço, Um curso de álgebra linear, 2a Ed, Edusp, São Paulo, 2005.

S. H. Weintraub, A Guide to Advanced Linear Algebra,The Mathematical Association of America, 2011.

 

 

 

MATE - 7005       ANÁLISE COMPLEXA

 

Sequências e séries de funções: convergência uniforme, séries de potências. Funções analíticas séries de potências, fórmula integral de Cauchy. Séries de Taylor e de Laurent. Singularidades. Teorema de resíduos e aplicações. Aplicações conformes. Teorema de representação conforme de Riemann. Funções Harmônicas no plano. 

 

Bibliografia:

L. Ahlfors -Complex Analysis. New York, McGraw-Hill, 1966. 

H. Cartan -ThéorieIlementaire des Fonctions Analytiquesd'une ou Plusiers Variables Complexes, Paris, Hermann, 1961. 

J. B. Conway - Functions of One Complex Variable, Berlin, Springer-Verlag, 1978. 

K. Knopp - Theory of Functions, vol. 2, New York, Dover, 1945.

M. G. Soares -Cálculo em uma Variável Complexa, Rio de Janeiro, IMPA, 2010.

G. Ávila -Variáveis Complexas e aplicações, Rio de Janeiro, LTC, 2000.

R. E. Greene, S. G. Krantz -Function Theory of One Complex Variable, 3ra Ed. 2006.

M. J. Ablowitz, A. S. Fokas -Complex variables: introduction and

applications, Cambridge University Press, 2003.

S. G. Krantz -Complex Variables: A Physical Approach with Applications and MATLAB. Chapman & Hall/CRC, 2008.

 

 

 

 

 

MATE – 7007     ANÁLISE FUNCIONAL

 

Espaços Normados: Espaços normados, espaços de Banach, Operadores lineares contínuos, Compacidade, Teorema do ponto fixo de Banach. Espaços com produto interno: Espaços com produto interno, espaços de Hilbert, conjuntos ortogonais completos, operador adjunto, operadores auto-adjuntos, unitários e normais. Teoremas Fundamentais em Espaços Normados: Teoremas de Hahn- Banach, operadores auto-adjuntos, espaços reflexivos, Teorema da limitação uniforme, convergência forte e fraca, teorema da aplicação aberta, teorema do gráfico fechado.            

 

Bibliografia:

H. Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011. 

J. B. Conway. A Course in Functional Analysis, Springer, 1997.

E. DiBenedetto. Real Analysis, Birkhauser, 2002. 

E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with applications. John Wiley & Sons, 1998.

 

 

MATE – 7008      ANALISE NUMÉRICA I

 

Análise de erros. Métodos de interpolação: de Lagrange, Newton, Hermitiano e multi-dimensional. Integração numérica: métodos de Euler, Newton - Cotes e Gauss. Aproximações: uniforme e ótima. Métodos iterativos para sistemas lineares: métodos estacionários e não estacionários. Problema de quadrados mínimos. Precondicionadores.  

 

Bibliografia:

Stoer and Burlisch, Introduction to Numerical Analysis, Berlin, Springer-Verlag, 1980. 

G.W. Stewart, Introduction to Matrix Computation, Academic Press, 1973.  A. Bjorck, Numerical Methods for Least Squares Problems, SIAM, 1996.  G.H. Golub and C. Van Loan, Matrix Computation, John Hopkins University Press, 1996. 

A. Quarteroni, F. Saleri, R. Sacco, Numerical Mathematics, 2nd ed., Springer, New York, 2006.

G. Dahlquist, A. Bjorck: Numerical Methods, Dover Publications, 2003.

J.Y. Yuan, Applied Iterative Analysis, 1999.

 

 

MATE – 7009      ANÁLISE NUMÉRICA II

 

Métodos numéricos para equações diferenciais: métodos de passo simples e métodos de passo múltiplo para EDO, consistência, convergência, estabilidade, equações rígidas. Método das diferenças finitas. Método dos elementos finitos. 

 

Bibliografia:

G. Dalquist and A. Bjorck, Numerical Methods, Dover Publications, 2003.

J. Stoer and R. Burlisch, Introduction to Numerical Analysis, Berlin, Springer-Verlag, 1980. 

Ames, W.F., Numerical Methods for Partial Differential Equations, 3rd. ed., Academic Press, 1992.  

Gottlieb, D., and Orszag, S.A., Numerical Analysis of Spectral Methods, SIAM, 1977. 

Le Veque, R.J., Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhauser, 1992. 

Le Veque, R.J., Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-State and Time-Dependent Problems, SIAM, 2007.

 

 

MATE – 7010      EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

 

Existência e unicidade de soluções, dependência contínua dos parâmetros e dos dados iniciais, domínio máximo das soluções. Sistemas de equações lineares. Estabilidade, funções de Lyapunov, sistemas autônomos. Teorema de Poincaré-Bendixson e aplicações.           

 

Bibliografia:

Hirsch, M. W., Smale, S., Devaney, R. L., Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 2da ed., 2004.

de Guzmán Ozámiz, M., Ecuaciones diferenciales ordinarias: teoría de estabilidad y control, Alhambra, 1980.

Perko, L., Differential Equations and Dynamical Systems. Springer, 3ra ed., 2001.

Boyce, W. E., Di Prima, R. C., Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valor de Contorno, Editora LTC, 8va ed., 2006.

Hirsch, M. W., Smale, S., Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press, 1974.

Sotomayor, J., Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, IMPA, 1979.

Strogatz, S. H., Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry and Engineering, 2da ed., 1994.

Coddington, E., Levinson, N., Theory of Ordinary Differential Equations, Krieger Pub Co, 1984.

Hartman, P., Ordinary Differential Equations, 2da Ed. SIAM, 1982.

 

 

MATE - 7011       EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

 

Equações de Primeira Ordem. Método das Características. Equações do calor, da onda e do potencial. Transformada de Fourier e Aplicações. Princípios de Máximo e Teoremas de Unicidade.

 

Bibliografia:

H. Brezis. AnálisiFunzionale - Teoria e applicazioni, Liguori Editore, 1983.  J. B. Conway. A Course in Functional Analysis, Springer, 1997.

E. DiBenedetto. Real Analysis, Birkhauser, 2002. 

E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with applications. John Wiley & Sons, 1998. 

John, F., Partial Differential Equations. 4ta Ed. Springer 1982.

Iório, R., Iório, V., Equações diferenciais parciais: uma introdução. Projeto Euclides, IMPA, 2da Ed. 2010.

Iório, V., EDP, Um curso de Graduação. Coleção Matemática Universitária, IMPA, 1989.

Iório, R., Iório, V., Fourier Analysis and Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 2001.

Whitham, G. B. Linear and Nonlinear Waves. Wiley-Interscience, 3ra Ed. 1999.

LeVeque, R. Numerical Methods for Conservation Laws. Birkhäuser, 2da Ed. 1999.

Figueiredo, D. G., Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IMPA, 4ta Ed. 2009.

Katznelson, Y., An introduction to harmonic analysis. Cambridge University Press; 3ra Ed. 2004.

Evans, L., Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics, V. 19). American Mathematical Society, 2010.

Zauderer, E., Partial Differential Equations of Applied Mathematics. Wiley-Interscience, 1998.

Folland, G., Introduction to Partial Differential Equations. 2nd. ed. Princeton University Press, 1995.

Elgoltz, L., Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional. Mir, 1969. Perko, L., Differential Equations and Dynamical Systems. Springer, 3ra Ed. 2001.

 

 

MATE – 7012      EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE EVOLUÇÃO

 

Equações lineares de evolução: equações parabólicas; equações hiperbólicas. Teoria de semigrupos. Teoria de leis de conservação. Equações dispersivas e não-lineares.

 

Bibliografia:

EVANS, L. Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics, V. 19). American Mathematical Society, 2010. 

IÓRIO, V. EDP, Um curso de Graduação. Coleção Matemática universitária, IMPA. 1989. 

LAX, P. Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves. SIAM, 1973. 

WHITHAM, G. Linear and Nonlinear Waves. Wiley-Interscience, 1999.

Iório, R., Iório, V., Fourier Analysis and Partial Differential Equations. Cambridge University Press, 2001.

 

 

MATE - 7013       EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS ELÍPTICAS

 

Espaços de Sobolev: Teoremas de Imersão, Desigualdade de Poincaré, Teoria do Traço. Equações elípticas de segunda ordem: existência, unicidade e regularidade; princípios do máximo; problemas de autovalor. Equações elípticas lineares. Equações elípticas não- lineares.

 

Bibliografia:

BREZIS, H., Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer, 2011. 

EVANS, L., Partial Differential Equations. (Graduate Studies in Mathematics, V. 19)  American Mathematical Society, 2010. 

GILBARG, D. e TRUDINGER, N.S., Elliptic Partial Differential Equations of Second Order,  1983. 

TAYLOR, M., Partial Differential Equations I: Basic Theory. Springer, 1996.

 

 

MATE – 7014      EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO-LINEARES

 

 

Método de Compacidade. Teorema de Aubin-Lions. Equações Não Lineares de ondas. Poço de Potencial. Sistema de Navier-Stokes. Equações Não Lineares do tipo Schroedinger. Método de Monotonia. Pseudo Laplaciano. Operadores Monótonos. Equações Parabólicas Monótonas. Equação Hiperbólica com Viscosidade. 

 

Bibliografia:

H.-O. Kreiss and J. Lorenz. Initial Boundary Problems and the Navier-Stokes Equations, Academic Press Inc, 1989. 

T. Roubicek. Nonlinear Partial Differential Equations with Applications. Birkhauser, 2000. 

R. Mcowen. Partial Differential Equations - Methods and Applications. Prentice Hall, 1996. 

R. Temam, Navier-Stokes Equations Theory and Numerical Analysis, North Holland, 1979.

 

 

MATE – 7015      ESTÁGIO SUPERVISIONADO EM PRÁTICA DE DOCÊNCIA

 

Estágio de docência nos cursos de graduação, compreendendo a pesquisa, a preparação de aulas expositivas e técnicas didáticas.

 

Bibliografia:

GIL, Antonio Carlos. Metodologia do Ensino Superior. 4ª ed. São Paulo: Atlas, 2005.

______. Didática do Ensino Superior. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 2018. MADEIRA, Miguel Carlos; SILVA, Rosa Maria Alves da. Ensinar na Universidade: Didática para Professores Iniciantes. Rio de Janeiro: Vozes, 2015.

PIMENTA, Selma Garrido;

ALMEIDA, Maria Isabel Mendes de. Pedagogia Universitária: Caminhos para a Formação de Professores. São Paulo: Cortez, 2014.

 

 

 

 

MATE - 7021       FÍSICA MATEMÁTICA I

 

Equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordens (como revisão). Séries de potenciais e o método de Frobenius. Funções especiais em particular as funções de Bessel e os polinômios de Legendre. Sistemas de Sturm-Liouville. Séries de Fourier, Fourier-Legendre e Fourier-Bessel. Função de Green. Aplicações.    

 

Bibliografia:

E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1970. 

J. Mathews and R. L. Walker, Mathematical Methods of Physics, W, A. Benjamin, Inc., Melno Park, California, 1970. 

G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, New York, 1973.  S. Hassani, Foundations of Mathematical Physics, Prentice-Hall International Editions, Singapore, 1991. 

E. Capelas de Oliveira e J. E. Maiorino, Introdução aos Métodos de Matemática Aplicada, Editora da Unicamp, Campinas, 1998. 

E. Capelas de Oliveira e W. A. Rodrigues Jr., Introdução às Variáveis Complexas e Aplicações, Coleções Imecc, Unicamp, vol.1, Campinas, 2000.

Boyce, W. E., Di Prima, R. C., Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valor de Contorno, 8a. ed, LTC, 2006.

 

 

MATE – 7022      FÍSICA MATEMÁTICA II

Séries de Laurent e o teorema dos resíduos (como revisão). Cálculo de integrais reais via teorema dos resíduos. Transformações de Laplace e Fourier. Problema da inversão. Equações diferenciais parciais da Física-Matemática. Equações de Laplace, onda e calor. Separação de variáveis em vários sistemas de coordenadas. Aplicações.       

 

Bibliografia:

E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1970. 

J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics,

W, A. Benjamin, Inc., Melno Park, California, 1970. 

G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, New York, 1973. 

S. Hassani, Foundations of Mathematical Physics, Prentice-Hall International Editions, Singapore, 1991. 

E. Capelas de Oliveira e J. E. Maiorino, Introdução aos Métodos de Matemática Aplicada, Editora da Unicamp, Campinas, 1998. 

E. Capelas de Oliveira e W. A. Rodrigues Jr., Introdução às Variáveis Complexas e Aplicações, Coleções Imecc, Unicamp, vol.1, Campinas, 2000.  Murray R. Spiegel, Theory and Problems of Fourier Analysis with Applications to Boundary Value problems, Schaum's Outline Series, 1974. 

Boyce, W. E., Di Prima, R. C., Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valor de Contorno, 8a. ed, LTC, 2006. 

Strang, G., Introduction to Applied Mathematics, Wellesley-Cambridge Press, 1986.

 

 

MATE – 7024      FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS COMPLEXAS

 

Teoria elementar das funções de holomorfas de várias variáveis. Teorema de extensão de Hartogs, domínios de Reinhardt, domínios de holomorfia, domínios de Runge. Propriedades locais das funções holomorfas, teorema de preparação de Weierstrass, teorema de Oka.    

 

Bibliografia:

Hormander, L. - An introduction to Complex Analysis in Several Variables, 3ra Ed. 1990.

Krantz, S. - Function Theory of Several Complex Variables, 2da Ed. 1992.

Gunning, R. and Rossi, H. - Analytic functions of Several Complex Variables, AMS, 1965.

Ebeling, W. - Functions of Several Complex Variables and Their Singularities, AMS, 2007.

Narasimhan, R. - Several Complex Variables, University of Chicago Press, reedição 1995.

 

 

MATE – 7026      GEOMETRIA DIFERENCIAL

 

Curvas, comprimento de arco, curvatura e torção, triedro de Frenet e forma canônica local. Superfícies regulares, imagem inversa de valor regular, plano tangente e diferencial de uma aplicação, primeira forma fundamental, orientação de superfícies, campos de vetores, aplicação de Gauss e segunda forma fundamental. Teorema Egregium de Gauss, transporte paralelo e geodésicas, teorema de Gauss-Bonnet.   Tópicos.  

 

Bibliografia:

M.P. Carmo, Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, SBM. 

V.A. Toponogov , V.Y. Rovenski, Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide, Birkhauser Boston. 

P. Ventura Araújo, Geometria Diferencial, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 1998.

B. ONeil, Elementary Differential Geometry. Academic Pres, 1966.

R. S. Millman, G. D. Parker, Elements of Differential Geometry, Prentice Hall, 1977.

J. Lee, Introduction to Riemannian manifolds. Graduate Texts in Mathematics, 176, Springer,  2018.

 

 

MATE – 7028      MEDIDA E INTEGRAÇÃO

 

Funções mensuráveis, funções integráveis. Teoremas básicos de convergência. Medidas com sinal. Teorema de decomposição de Hahn-Jordan. Medidas absolutamente contínuas. Teorema de decomposição de Lebesgue. Teorema de Radon-Nikodym. Espaços Lp: propriedades básicas; dualidade. Espaços produto. Teorema de Fubini-Tonelli. Convergência em medida. Relação entre diferenciação e integração: Teorema de Vitali; Teorema de diferenciação de Lebesgue.

 

Bibliografia:

BARTLE, R., Elements of Integration. John Wiley& Sons, 1995.

FERNANDEZ, P., Medida e Integração. Projeto Euclides, IMPA, 1996.  ROYDEN, M., Real Analysis. MacMillan Pub., 1988. 

RUDIN, W., Real and Complex Analysis. Mc-Graw Hill, 1987.

TAYLOR S. J., Introduction to measure and integration, Cambridge University Press, reeditado 2008.

 

 

MATE – 7029      MÉTODOS DE ELEMENTOS FINITOS I

 

Método de Galerkin. Espaços de elementos finitos. Métodos de elementos finitos para a equação de Poisson.

 

Bibliografia:

JOHNSON, C. Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method. Cambridge University Press, 1987. 

AXELSSON, O; VINCENT, B. Finite Element Solution Of Boundary Value Problems. SIAM, 2001. 

RINCON; M; LIU, I. Introdução ao Método de Elementos Finitos: Análise e Aplicação. IM-UFRJ, 2003.

A. Quarteroni, A-Valli, Numerical Approximation of Partial Differential

Equations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

 

 

MATE - 7030       MÉTODOS DE ELEMENTOS FINITOS II

 

Métodos estabilizados para problemas de convecção-difusão. Problemas de evolução. Problema de Stokes. Métodos de elementos finitos mistos. Método de Galerkindescontínuo.

 

Bibliografia:

BRAESS, D. FiniteElements. Cambridge University Press, 2001.

JOHNSON, C. Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method. Cambridge University Press, 1987. 

BREZZI, F.; FORTIN, M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. Springer- Verlag, 1991.

A. Quarteroni, A-Valli, Numerical Approximation of Partial Differential

Equations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

 

 

MATE - 7033       MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

 

Métodos numéricos para o problema de valor inicial: métodos de passo simples e passo múltiplo; consistência, convergência e estabilidade. Equações rígidas. Sistemas de equações diferenciais ordinárias. Método das diferenças finitas.

 

Bibliografia:

ASCHER, U.; PETZOLD, L. Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. SIAM, 1998.

ASCHER, U. Numerical Methods for Evolutionary Differential Equations. SIAM, 2008.

GEAR, C. Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations. Prentice-Hall, 1971. 

HAIRER, E., LUBICH, C., WANNER, G. - Geometric numerical integration, 2da ed. Springer, 2006.

 

 

MATE – 7034      MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

 

Métodos de diferenças finitas: consistência, estabilidade e convergência; equações de evolução; equações elípticas. Dispersão e dissipação numérica. Análise de Fourier. Métodos espectrais. Solução numérica de problemas com descontinuidade e leis de conservação.

 

Bibliografia:

THOMAS, J. Numerical Partial Differential equations: finite difference methods. Springer, 1995. 

TREFETHEN, L. Spectral Methods in MATLAB. SIAM, 2000. 

TREFETHEN, L. Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Oxford, 1996. 

ASCHER, U. Numerical Methods for Evolutionary Differential Equations. SIAM, 2008. 

LE VEQUE, R. Numerical Methods for Conservation Laws, 2da Ed. Birkhduser, 1992. 

SMITH, G. D. Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, 3ra Ed. Oxford University Press, 1985.

 

 

MATE - 7035       OPERADORES PSEUDODIFERENCIAIS

 

Transformada de Fourier e sua inversa para funções rapidamente decrescentes e distribuições temperadas, convolução de distribuições e soluções fundamentais, espaços de Sobolev e potenciais de Bessel. Classes de símbolos e suas propriedades básicas, integrais oscilatórias e símbolos duplos, composição e adjunta de operadores pseudodiferenciais, operadores elípticos e parametrizes, continuidade e unicidade de símbolo para funções suaves limitadas, continuidade em L2 e em espaços potenciais de Bessel. Aplicações em espaço de funções e equações diferenciais.    

 

Bibliografia:

Nirenberg, L. - Pseudo-differential Operators, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011.

Hörmander, L. - The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo-Differential Operators, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007.

Hounie, J. - Introdução aos Operadores Pseudo-diferenciais, IMPA, 1987.

Shubin M.A. - Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer Series in Soviet Mathematics, 2001. 

Treves, F. - Introduction to Pseudodifferential Operators and Fourier Integral Operators, Springer US, 1980.

Taylor, M. - Pseudo differential Operators, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1974.

 

 

MATE – 7036      OTIMIZAÇÃO I

 

Otimização sem restrições, condições de otimalidade. Convexidade. Teorema global de convergência. Velocidade de convergência. Métodos de busca unidimensional. Métodos clássicos para otimização irrestrita: Gradiente, Newton, Quase-Newton e Gradiente conjugado. Condições de otimalidade para problemas de otimização com restrições. Teorema de Karush-Kuhn-Tucker.          

 

Bibliografia:

D.G. Luenberger and Y. Ye, Linear and Nonlinear Programming, 2008. J. Nocedal and S.J. Wright, Numerical Optimization, 2006. 

A.A. Ribeiro e E.W. Karas. Um curso de Otimização, Cengage Learning, 2013.

 

 

MATE – 7037      OTIMIZAÇÃO II

 

Métodos de região de confiança para otimização irrestrita. Problemas de quadrados mínimos linear e não linear. Otimização com restrições. Métodos Primais. Métodos Duais. Métodos de Pontos Proximais. Programação Quadrática Sequencial.       

 

Bibliografia:

A.A. Ribeiro e E.W. Karas, Otimização contínua aspectos teóricos e computacionais, Cengage Learning, 2013.

M.S. Bazaraa, H.D. Sherali, C.M. Shetty, Nonlinear programming, John Wiley & Sons, Inc. 1979. 

D.G. Luenberger, Optimization by Vector Space Methods, John Wiley & Sons, Inc. 1968. 

R. Fletcher, Practical Methods of Optimization, Wiley, 1987. 

P.E. Gill, W. Murray and M.H. Wright, Practical Optimization, Academic Press, London, 1981.  J.M. Ortega and W.C.

Rheinboldt, Iterative Solution of nonlinear Equations in several Variables, Academic Press, 1971. 

S. Wright, Numerical Methods for Optimization, 1999. 

J.E. Dennis and R.B. Schnabel, Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1983.

 

 

MATE – 7038      OTIMIZAÇÃO III

 

Otimização convexa suave: método do gradiente para funções convexas, complexidade e métodos ótimos. Conceitos básicos de convexidade: conjunto convexo; interior relativo; cones de recessão, tangente e normal; teoremas de separação; derivada direcional e regras de cálculo para sub-diferenciais; funções conjugadas, inf-convolução, dualidade de Fenchel e existência de solução duais. Otimização convexa não suave: método de subgradientes, gradiente proximal, métodos de planos cortantes, feixes, métodos splittings como ADMM.

 

Bibliografia:

BERTSEKAS, D. Convex Optimization Theory, Athena Scientific, 2009;  BERTSEKAS, D. Convex Optimization Algorithms,  Athena Scientific, 2015. BORWEIN, J; LEWIS, A, S. Convex analysis and Nonlinear optimization, Springer-Verlag, 2000.

BOYD, S; VANDENBERGHE, L. Convex Optimization, Cambridge, 2004. 

HIRIART-URRUTY,J.; LEMARECHAL, C. Convex Analysis and Minimization Algorithms I & II. Springer-Verlag, 1993. 

ROCKAFELLAR, R. Convex Analysis. Princeton University Press, 1970.

BECK, A. First-order methods in optimization,  MOS-SIAM series on optimization, 2014

NESTEROV, Y. Lectures on Convex Optimization, Springer, 2003

BEN-TAL, A; NEMIROVSKI, A. Lectures on modern convex optimization: Analysis, algorithms and engineering applications. MPS-SIAM, Philadelphia, 2001. 

CLARKE, F. Optimization and Nonsmooth Analysis. John Wiley and Sons, 1983.

 

 

MATE - 7039       PESQUISA OPERACIONAL I

 

Formulação de problemas de programação linear. O Método Simplex. Método Simplex Revisado. O Método Dual Simplex. O Método Primal-Dual. Análise de Sensibilidade. Degenerescência em Programação Linear. Programas Lineares com variáveis limitadas. Método de ponto interior.

 

Bibliografia:

Bertsimas, D., TsiTsiklis, J. N.: Introduction to Linear Optimization. Athena Scientific (1997)

Luenberger, D. G., Ye, Y.: Linear and Nonlinear Programming, Fourth Edition. Springer (2016)

Vanderbei, R. J.: Linear Programming: Foundations and Extensions, Fifth Edition. Springer (2020)

Maculan, N., Fampa, M.H.C.: Otimização Linear. Editora Unb (2006)

 

MATE – 7040      PESQUISA OPERACIONAL II

 

Métodos Branch and Bound. Métodos tipo cutting-plane. Problemas com variáveis binárias. Problemas de transporte. Modelos de designação. Busca de caminhos mínimos. Problema do Caixeiro-Viajante. Problemas Clássicos de Roteamento. Fluxo de custo mínimo em redes. Fluxo máximo através de uma rede. Algoritmo out-of-kilter.      

 

Bibliografia:

Bertsimas, D., Weismantel, R.: Optimization over Integers. Dynamic Ideas (2005)

Wolsey, L. A.: Integer Programming. John Wiley & Sons (1998)

Ahuja, R. K., Magnanti, T. L., Orlin, J. B.: Network Flows: Theory, Algorithms and Applications. Prentice Hall (1993)

Korte, B., Vygen, J.: Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms, Third Edition. Springer (2006)

 

MATE – 7041      SEMIGRUPOS DE EQUAÇÕES DE EVOLUÇÃO

 

A Função Exponencial. Semigrupos Contínuos. Teorema de HilleYosida. Fórmulas Exponenciais. Operadores Dissipativos. Teorema de Lumer- Phillips. Semigrupos Compactos e Holomorfos. Perturbação de semigrupos. Problema de Cauchy Abstrato. Aplicações às Equações Diferenciais Parciais. 

 

Bibliografia:

K.J. Engel and R. Nagel, A short course on operator semigroups. Springer 2006.

K.J. Engel and R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer 2000.

A. Pazy, Semigroups of Linear Operations and Applications to PDE, Applied Mathematical Sciences, Vol. 44, Springer Verlag, New York, 1983. 

J. A Goldstein, Semigroups of Linear Operators and Applications Oxford University Press, N.Y, 1985.

 

 

 

 

MATE – 7051      SISTEMAS INVOLUTIVOS

 

Campos vetoriais complexos. Estruturas formalmente integráveis. Formas diferenciais. Estruturas localmente integráveis. Complexos diferenciais associados a estruturas formalmente integráveis. Resolubilidade.

 

Bibliografia:

Berhanu, S. - Cordaro, P.; Hounie, J. - An Introduction to Involutive Structures (New Mathematical Monographs). Cambridge Univ. Press, 2008.  Treves, F. - Hypo-Analytic Structures: Local Theory. Princeton Univ Press, 1993.

 

 

MATE - 7052       TEORIA DAS DISTRIBUIÇÕES E ANÁLISE DE FOURIER

 

Funções teste e distribuições. Convergência e Operações com distribuições. Derivada distribucional. Localização e suporte de uma Distribuição. Distribuições com suporte compacto. Convolução de distribuições com funções suaves e convolução de distribuições. Soluções fundamentais de operadores com coeficientes constantes. Operadores elípticos e hipoelíticidade. Produto tensorial de distribuições. O teorema dos núcleos. Transformada de Fourier e fórmula de inversão. Distribuições temperadas. Teorema de Paley-Wierner-Schwartz. Parametrizes e resolubilidade. Conjuntos frente de onda e propagação de singularidades.              

 

Bibliografia:

Hormander, L., The analysis of linear partial differential operators I, Springer-Verlag, 2nd edition, 1990. 

Treves, F., Topological Vector Spaces, distributions and kernels, Academioc press, 1967. 

Hounie, J., Teoria elementar da distribuições, 12. CBM, 1979. 

Schwartz, L. Théorie des distributions, Hermann, 1966. 

Folland, G., Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, 2nd edition, John Wiley, 1999.

Mitrea, D., Distributions, Partial Differential Equations, and Harmonic Analysis,Springer-Verlag New York, 2013.

 

MATE - 7053       TEORIA MATEMÁTICA DA DINÂMICA DOS FLUIDOS

 

Equações de Euler. Teorema de Helmholtz. Fluxo potencial. Vorticidade. Equações de Navier-Stokes. Camada-limite.

 

Bibliografia:

CHORIN, A.; MARSDEN, J. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. Springer, 1993. 

BATCHELOR, G. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 1999. 

ACHESON, D. J. - Elementary Fluid Dynamics, Oxford University Press, 1990.

DEBNATH, L. Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. 3ed. Springer, 2012.

JOHNSON, R. S. A Modern Introduction to the Mathematical Theory of Water Waves, Cambridge University Press, 1997.

VANDEN-BROECK, J.-M. Gravity-Capillary Free-Surface Flows. Cambridge University Press, 2010.

 

 

MATE – 7054      TEORIA MATEMÁTICA DO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

 

Formulação Variacional de problemas elípticos. Teoria de aproximação em espaços de Sobolev. Estimativas de erros.

 

Bibliografia:

BRENNER, S; SCOTT, R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer, 2002. 

CIARLET, P. The Finite Element Method for Elliptic Problems, SIAM, 2002.  BRAESS, D. FiniteElements. Cambridge University Press, 2001.

A. Quarteroni, A-Valli, Numerical Approximation of Partial Differential

Equations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

 

 

MATE – 7063      TOPOLOGIA ALGÉBRICA

 

Homotopia e tipo de homotopia, complexos celulares, a propriedade de extensão de homotopia. Grupo fundamental, teorema de Van Kampen e aplicações. Espaços de recobrimento, levantamento de homotopia, classificação de espaços de recobrimento e ações de grupos. Homologia singular e simplicial, sequências exatas e excisão. Homologia de CW complexos, sequência de Mayer-Vietoris. Aplicações. Tópicos Adicionais.

 

Bibliografia:

Hatcher, A., Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001. Disponível gratuitamente em http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html. 

Munkres, J., Elements Of Algebraic Topology, Westview Press, 1996. 

May, J.P., A Concise Course in Algebraic Topology, Chicago University Press, 1999. 

David, J. Lecture Notes on Algebraic Topology, AMS, 2001.  Claude Godbillon, ""eléments de topologie algébrique"", Hermann."

 

 

MATE – 7065      TOPOLOGIA GERAL

 

Topologia e espaços topológicos. Abertos e fechados, operadores de interior e de fecho. Bases e sub-bases. Subespaços. Funções contínuas e homeomorfismos. Topologias iniciais e espaços produtos, topologias finais e espaços quocientes. Conexidade. Compacidade. Métodos de compactificação. Axiomas de separação. Axiomas de enumerabilidade.             

 

Bibliografia:

E.L. Lima. Topologia Geral. Ao livro Técnico.  J.R.Munkres. Topology: A First Course. Prentice Hall. 

G.F. Simmons. Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw-Hill, 1963.

 

 

 

MATE - 7068       APRENDIZAGEM DE MÁQUINA

 

Técnicas de Aprendizagem Supervisionada: Regressão Linear Múltipla, Regressão Logística, Máquinas de Vetor Suporte, Redes Neurais Artificiais. Métodos de Otimização: StochasticGradientDescent, CoordinateDescent e Fast IterativeShrinkage-ThresholdingAlgorithm (FISTA). Técnicas de Aprendizagem Não-Supervisionada: Clusterização via K-Means e Redução de Dimensionalidade via Análise de Componentes Principais. Aplicações: Previsão de Séries Temporais, Sistemas de Recomendação, Processamento de Linguagem Natural (modelo bag-of-words); Compressão de Dados e Diagnóstico de Doenças.

 

Bibliografia:

Bottou, L., Curtis, F.E., Nocedal, J.: Optimization Methods for Large-Scale Machine Learning. SIAM Review 60, 223-311 (2018)

Mitchell, Tom. Machine Learning. New York, NY: McGraw-Hill, 1997. ISBN: 9780070428072. Marsland, S. Machine Learning: An Algorithmic Perspective. Chapman & Hall/CRC, 2009.

Winston, P.H. Artificial Intelligence, 3rd ed. Addison-Wesley, 1992.

 

 

MATE – 7069      GRUPOIDES E ALGEBROIDES DE LIE

 

Grupoides de Lie, algebroides de Lie, Funtor de Lie. Ações e Representações. Cohomologia de um Grupoide, de um algebroide e aplicação de Van-Est. Subgrupoides, Transversalidade. Integrabilidade. Equivalências de Morita. Orbifolds. Complexo de Bott-Schulman.   Tópicos adicionais: Grupoides VB, Grupoides duplos, Estruturas geométricas em grupoides.         

 

Bibliografia:

R. Brown, Topology and Groupoids,

Brown, Topology and Groupoids, Booksurge Publishing, 2006.

K. Mackenzie, Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry, LNS 124, Cambridge University Press. 

Crainic, Fernandes, Lectures on the integrability of Lie Algebroids.

 

 

MATE – 7070      GEOMETRIA DE POISSON

 

Estruturas de Poisson, colchete, bivetor. Campos hamiltonianos, funções de Casimir, folheação simplética. Estruturas Lineares e Álgebras de Lie.  Multivetores e Cohomologia de Poisson. Subvariedades de Poisson e coisotropicas. Transversalidade. Teorema de estrutura Local de Weinstein. Quociente e Redução.  Algebroïde cotangente, integrabilidade e Grupoïdes Simpléticos. Tópicos adicionais: Estruturas de Dirac. Colchete de Courant. Quantização por Deformação. Teorema de formalidade de Kontsevitch. Estruturas de Lie-Poisson.           

 

Bibliografia:

Cannas da Silva, Alan Weinstein - Geometric models for non-commutative algebras, Berkeley Mathematics Lecture Notes 10, AMS 1999.  

Dufour, Zung - Poisson structures and their normal forms, Progress in Mathematics 242, Birkhauser 2005.

Rui Loja Fernandes, Ionut Marcut - Lectures on Poisson Geometry.

Eckard Meinrenken, Introduction to Poisson Geometry.

Izu Vaisman, Lectures on the Geometry of Poisson manifolds, Progress in Mathematics, 118, Birkhauser.

 

 

MATE – 7071      ANÁLISE EM VARIEDADES

 

Variedades Riemannianas. Medições em variedades Riemannianas: comprimento, volume (densidades), áreas k-dimensionais. Conexões, curvatura e geodésicas. A aplicação exponencial. Coordenadas normais. Operadores diferenciais em variedades Riemannianas. Laplaciano em variedades, equação do calor. Aplicações harmônicas. Espaços de Sobolev em variedades, desigualdades de Sobolev. O problema de Yamabe.

 

Bibliografia:

T. Aubin, "Nonlinear Analyisis on manifods -Monge-Ampere equations"" J. Jost, ""Riemannian geometry and geometric analysis"" , 7a Ed., 2017, Springer.

Isaac Chavel, ""Riemannian Geometry: a modern introduction"", Cambridge University Press.

T. Aubin, “Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry”, Springer

J. Lee, Introduction to Riemannian manifolds. Graduate Texts in Mathematics, 176, Springer,  2018.

 

 

MATE - 7072       CÁLCULO DAS VARIAÇÕES

 

Funcionais em uma variável. Condições necessárias para extremos. Equação de Euler-Lagrange, derivada variacional. Casos mais gerais: extremos livres, caso de várias variáveis dependentes/independentes. Primeira e segunda variação, condição de Legendre. Formas canônicas, formulação Lagrangiana e Hamiltoniana. Métodos diretos. Teoria de Controle, controle ótimo.

 

Bibliografia:

I. M. Gelfand, S. V. Fomin, Calculus of variations, Prentice-Hall, 1963  J.Jost, X.LiJost, Calculus of variations, Cambridge University Press, 1998.

C.R. MacCluer, Calculus of variations: Mechanics, control and other applications, Dover, 2012.

 

 

MATE - 7073       GEOMETRIA RIEMANNIANA

 

Métricas Riemannianas: expressão local, exemplos: subvariedades, métricas invariantes em grupos de Lie. Conexão de Levi-Civita, geodésicas e curvatura. A aplicação exponencial. Cálculo variacional Riemanniano. Fórmulas da primeira e segunda variação. Derivada da aplicação exponencial. Tópicos: e.g. Teoria da Comparação, Teoria de Morse, Fluxo Geodésico, Laplaciano em variedades. 

 

Bibliografia:

"- Manfredo do Carmo, ""Geometria Riemanniana"", SBM (Tradução ao Inglês: ""Riemannian Geometry"", Birkhauser) 

Peter Petersen. ""Riemannian Geometry"", Springer. - Isaac Chavel, "Riemannian Geometry: a modern introduction"", Cambridge University Press.

John Lee, ""Introduction to Riemannian Manifolds", 2nd edition, 2018 Springer GTM."

 

 

MATE - 7074       VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS II

 

Complexo de deRham, cohomologia de deRham. Invariância por homotopia e sequência de Mayer-Vietoris. Cálculos em cohomologia. Fibrados vetoriais e principais, classes características. Clases de Euler, Thom. Cohomologia de Cech, isomorfismo de Thom, dualidade de Poincaré.  

 

Bibliografia:

Rui Loja Fernandes, Lições de Geometria Diferencial, IST Lisboa, 2003.

Bott, R, Tu, L. Differential forms in Algebraic Topology, Springer Verlag, 1982.

Lee, J., Introduction to smooth manifolds, Springer Verlag, 2003.

F. Warner, ""Foundations of differentiable manifolds and Lie groups"", Springer."

 

 

MATE – 7075      ATRATORES DE SISTEMAS DINÂMICOS

 

Noções de sistemas dinâmicos: Semigrupos de operadores, trajetórias, ponto de equilíbrios, conjunto invariante, conjunto ?-limite. Sistemas dissipativos: conjunto absorvente, conjunto assintoticamente compacto. Atratores globais: caracterização do atrator global, medida de não-compacidade de Kuratowski, teorema de existência. Sistemas gradientes: função de Lyapunov, sistema gradiente, variedade  instável. Atratores de dimensão finita: dimensão fractal, dimensão de Hausdorff. Aplicações às equações diferenciais parciais.    

 

Bibliografia:

A.V. Babin, M.I. Vishik, Attactors of Evolution Equations. North-Holland, 1992.

I. Chueshov, Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems, Acta Scientific Publishing House, 2002.

I. Chueshov and I. Lasiecka, Von Karman Evolution Equations, Springer, New York, 2010.

J. C. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, 2001.

G.R. Sell and Y. You, Dynamics of Evolutionary Equations, Springer Verlag, 2002.

 

 

MATE – 7076      TEORIA DE AUSLANDER-REITEN

 

Álgebras de Artin. Funtor Transposto e Dual. Sequências Quase Cindidas. Interpretações e exemplos. O termo do meio das Sequências quase-cindidas. Aplicações para álgebras de Grupo.  Álgebras de tipo de representação finita. O quiver de Auslander-Reiten e as matrizes de Cartan.  Tópico: Teoria de Auslander-Reiten Superior.      

 

Bibliografia:

M. Auslander, I Reiten, S. O Smalo. Representation Theory of Artin Algebras. Cambridge studies in advanced mathematics 36. 1995.

G. Jasso, S. Dvamme. An introduction to higher Auslander-Reiten theory.

Osamu Iyama. Auslander correspondence. Adv. Math., 210(1):51?82, 2007 4. Osamu Iyama. Higher-dimensional Auslander-Reiten theory on maximal orthogonal subcategories. Adv. Math., 210(1):22?50, 2007.

Osamu Iyama. Auslander-Reiten theory revisited. In Trends in representation theory of algebras and related topics, EMS Ser. Congr. Rep., pages 349-397. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008.

Osamu Iyama and Steffen Oppermann. n-representation-finite algebras and n-APR tilting. Trans. Amer. Math. Soc., 363(12):6575?6614, 2011.

Osamu Iyama and Steffen Oppermann. n-representation-finite algebras and n-APR tilting. Trans. Amer. Math. Soc., 363(12):6575?6614, 2011.

I. Assem, F.U. Coelho, Basic Representation Theory of Algebras (Graduate Texts in Mathematics (283)) First edition 2020.

 

 

 

 

MATE - 7077       TEORIA DE CATEGORIAS

 

Categorias,  Dualidade, Equalizadores, Pullback, Pushouts, Intersecção, União, Imagens, Objeto Zero, Kernel, Normalidade. Categorias Exatas. Categorias Aditivas. Lema dos 9. Produtos. Categorias Abelianas. Limites, Funtores, Propriedades preservadas por funtores, Transformações Naturais, Equivalência de Categorias,  Categoria de Funtores, Projetivos, Injetivos, Geradores. Teorema de Imersão. Funtores adjuntos. Extensões: Sequências Exatas, Ext^n, Dimensões Globais.       

 

Bibliografia:

B. Michell, Theory of Categories. Academic Press, 1965. 

N. Jacobson. Basic Algebra II. W. H. Freeman and Co. 1995.

P. Freyd, Abelian Categories: An Introduction to the Theory of Functors. Harper & Row, 1964.

T. Leinster, Basic Category Theory, Cambridge University Press 2014.

S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Math. Springer. 1969.

B. Pareigis, Categories and Functors. Academic Press, 1970.

 

 

MATE - 7078       TEORIA INCLINANTE

 

Pares de torção. Módulos tilting e o Teorema de Brenner-Butler. Álgebras Tilted e o Critério de Liu-Skowroski.  Aplicações: Álgebras Gentle e álgebras tilted de tipo An. Tubos. Matriz de Coxeter e álgebras concealed de tipo euclidiano. Álgebras Canônicas de tipo euclidiano. Álgebras Tilted de tipo Selvagem.    

 

Bibliografia:

I. Assem, D. Simson, A. Skowronski.  Elements of the Representation Theory of Associative Algebras. Techniques of Representation Theory.  London Mathematical Society Student Texts 65. 2006.

D. Simson, A. Skowronski.  Elements of the Representation Theory of Associative Algebras. Tubes and Concealed Algebras of Euclidean Type.  London Mathematical Society Student Texts 65. 2007.

D. Simson, A. Skowronski.  Elements of the Representation Theory of Associative Algebras. Representation-infinite Tilted Algebras.  London Mathematical Society StudentTexts 65. 2007.

L. Angeleri Hugel, Handbook of Tilting Theory (London Math. Soc. Lecture Note Series) First edition 2009.

 

 

 

 

MATE - 7079       GEOMETRIA ALGÉBRICA

 

Conjuntos Algébricos Afins e Projetivos: Topologia de Zariski, Irredutibilidade, Nullstellensatz. Feixes e Variedades: Feixe estrutural, Variedades afins, variedades algébricas, feixes de módulos.  Feixes de módulos sobre variedades projetivas, Dimensão: definição topológica e a ligação com álgebra. Espaços Tangentes e pontos singulares. Gênero Aritmético de curvas e o Teorema de Riemann-Roch.  Esquemas.        

 

Bibliografia:

S. Bosch. Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Universitext, Springer. 2013.

D. Eisenbud, J. Harris. The Geometry of Schemes.  Graduate Texts in Maths. 197. Springer. 2000.

D. Cox, D. O'Shea.  Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Springer, 2007.

R. Hartshorne. Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Springer 1977.

M. Kashiwara, P. Schapira. Sheaves on Manifolds. 2010. Springer.

D. Perrin. Géométrie Algébrique. CNRS Editions. 1995.

M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry. London Math. Society Student Texts. 12. 1988.

I. R. Shafarevich. Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space (3rd edition). Springer. 2013.

I. R. Shafarevich. Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds (3rd edition). Springer. 2013.

 

 

 

 

MATE – 7080      CATEGORIAS DERIVADAS

 

A categoria dos complexos e a categoria de homotopia.  Categorias Trianguladas. Categorias de Frobenius. Quasi-Isomorfismos e localização.   Categorias Derivadas. Funtores Derivados. O mergulho de uma categoria aditiva em sua categoria derivada.        

 

Bibliografia:

S. I. Gelfand, Y. I Manin. Methods of Homological Algebra. Springer 1996.

J. J. Rotman. An Introduction to Homological Algebra. Universitext. Springer 2009.

J. J. Rotman. An Introduction to Homological Algebra. Academic Press. 1979.

A. Zimmermann. Representation Theory. A homological algebra point of view. Algebra and Applications. Springer. 2014.

Amnon Yekutieli. A course on derived categories. Cambridge studies in advanced mathematics. 2020.

C. A. Weibel, Introduction to Homological Algebra (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). First Edition 1995

D. Huybrechts, Fourier-Mukai Transforms in Algebraic Geometry (Oxford Mathematical Monographs) First Edition 2006.

 

 

 

 

 

MATE – 7081      ÁLGEBRAS DE HOPF

 

Coálgebras e comódulos. Teorema Fundamental das Coálgebras, a álgebra dual C*, C-comódulos e C*-módulos racionais. Corradical: corradical de uma coálgebra, filtração corradical, Teorema de Taft-Wilson. Biálgebras e álgebras de Hopf. Exemplos de grupos quânticos. Introdução a categorias monoidais, categorias de módulos e comódulos sobre uma biálgebra. Teorema dos módulos de Hopf, integrais e semissimplicidade. Ações e co-ações em álgebras, produtos smash e produtos cruzados. Extensões de Hopf-Galois: introdução à teoria de coaneis, coaneis de Galois, extensões de Hopf-Galois, Teorema de Cohen-Fischman-Montgomery.           

 

T. Brzezinski, R. Wisbauer, Corings and Comodules. Cambridge University Press, 2003.

S. Dascalescu, C. Nastasescu, S. Raianu, Hopf algebras: an introduction. Marcel Dekker, 2001.

V. O. Ferreira, L. S. I. Murakami, Uma introdução às álgebras de Hopf. Editora Livraria da Física, 2020.

S. Montgomery, Hopf algebras and their actions on rings, AMS 1993.C. Kassel, Quantum Groups, Springer, 1995.

D. E. Radford, Hopf Algebras, World Scientific, 2012.

 

 

 

 

MATE - 7082       ÁLGEBRA COMUTATIVA

Conceitos básicos da teoria de anéis: ideais, módulos, anéis de frações, produto tensorial, Hom. Anéis e módulos noetherianos, teorema de base de Hilbert. Extensão inteira, teorema goingup, localização.  Álgebras finitamente geradas, variedades, lema de normalização de Noether, Hilbert Nullstellensatz. Anéis artinianos, teorema sobre estrutura de anéis artinianos. Decomposição primária, teoria de dimensão, KrullHauptidealsatz. Anéis de valorização discreta. Anéis e módulos graduados.   

 

Bibliografia:

 

Atiyah, M. F., Macdonald, I. G. Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969.

Herivelto Borges e Eduardo Tengan, Álgebra Comutativa em Quatro Movimentos. IMPA, 1a edição, 2015. Eisenbud, D. Commutative Algebra: with a view toward Algebraic Geometry, Springer- Verlag, 1995.

G. Kemper, A Course in Commutative Algebra, vol. 256, Springer, 2010.

Kunz, E. Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhäuser Boston, 1985.

R. Y. Sharp, Steps in commutative algebra, no. 51, Cambridge university press, 2000.

Nastasescu, C., Van Oystaeyen, F. Graded and Filtered Rings and Modules. Lecures Notes in Mathematics, 758. 1979.

Matsumura, H. Commutative ring theory, Cambridge Studies in advanced Mathematics. 2006.

Reid, M. Undergraduate commutative algebra. London Math. Society Student Texts 29. 1995

 

 

MATE – 7083      ÁLGEBRA HOMOLÓGICA E SEQUÊNCIAS ESPECTRAIS

 

Categorias e Funtores, Produto Tensorial, Adjunção, Limites diretos e inversos, Módulos Projetivos, Injetivos. Funtores Homológicos, Funtores Derivados, Tor, Ext. Sequências Espectrais: Bicomplexos, Filtrações, Convergência, Complexo Total, Resolução de Cartan Eilenberg, Sequências espectrais de Grothendieck. Aplicações para Grupos, Anéis, Feixes e Teorema de Kunneth.  

 

Bibliografia:

J. J. Rotman. An Introduction to Homological Algebra. Universitext. Springer 2009.

J. J. Rotman. An Introduction to Homological Algebra. Academic Press. 1979.

S. I. Gelfand, Y. I. Manin, Methods of Homological Algebra. Springer Verlag Berlin. 1996.

C. Weibel. An Introduction to homological algebra. Cambridge Studies in advanced Math. 38. Cambridge University Press. 1994.

J. McCleary. A User's Guide to Spectral Sequences. Cambridge studies in advanced math. 58. 1985.

D. Huybrechts, Fourier-Mukai Transforms in Algebraic Geometry (Oxford Mathematical Monographs) First Edition 2006.

 

 

 

MATE - 7084       INTRODUÇÃO ÀS ÁLGEBRAS NÃO ASSOCIATIVAS

 

Variedades de álgebras, álgebras livres em uma variedade, linearização de identidades. Álgebras de composição, processo de Cayley-Dickson, teorema de Hurwitz. Álgebras de Jordan especiais e excepcionais, teorema de Shirshov. Solubilidade e nilpotência de álgebras de Jordan e álgebras alternativas.  Álgebras alternativas simples, Teorema de Kleinfeld.           

 

Bibliografia:

K. A. Zhevlakov, A. M. Slin'ko, I. P. Shestakov, A. I. Shirshov. Rings that are nearly associative. New York, Academic Press; 1982; 371 p.

Schafer, R.D. An introduction to non-associative algebras. Courier Dover Publications, 2017, 176p.

Jacobson N. Structure and Representations of Jordan Álgebras.

Providence, Rhode Island; American Mathematical Society; 1968; 453 p.

K. McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras. Springer-Verlag New York; 2004; 563p.

Pierce, R. S. Associative algebras. New York, Springer, 1982, 436p.

 

 

 

MATE - 7085       INTRODUÇÃO ÀS ÁLGEBRAS DE LIE

 

Definições, exemplos e construções básicas: álgebras de Lie, subálgebras, ideais, homomorfismos, representações, subrepresentações, homomorfismo de representações, representação adjunta, derivações, produto semidireto de álgebras, produto tensorial de representações. Álgebra universal envelopante, teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt. Álgebras de Lie dadas por geradores e relações, representações livres, representações dadas por geradores e relações (definições e exemplos simples). Álgebras solúveis e nilpotente, séries derivada e central, teorema de Engel, teorema de Lie, radicais solúveis e nilpotentes, critério de Cartan para solubilidade, forma de Cartan-Killing e critério para semi-simplicidade. Teorema de Weyl sobre redutibilidade completa de representações de álgebras semi-simples, teorema da decomposição de Levi. Classificação das representações de dimensão finita de sl(2), subálgebras de Cartan e subálgebras torais maximais, teoremas de conjugação, decomposição de álgebras semi-simples em espaços de raízes, sistemas de raízes, grupo de Weyl, sequências de raízes, bases de sistemas de raízes, matrizes de Cartan, diagramas de Dynkin, classificação de sistemas de raízes, teorema de Serre e classificação das álgebras de Lie simples, subálgebras de Borel. Representações de dimensão finita de álgebras semi-simples, pesos, pesos integrais e dominantes, representações de peso máximo, classificação das representações irredutíveis, geradores e relações para as representações irredutíveis, breve introdução a teoria de caracteres (definição e invariância pela ação do grupo de Weyl). 

 

Bibliografia:

J.E. Humphreys,  Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer - GTM 9, 1972

L.A.B. San-Martin, Álgebras de Lie. Unicamp, 2010.

R. Carter,  Lie Algebras of Finite and Affine Type. Cambridge University Press, 2005

N. Jacobson, Lie Algebras.  Intersciences Publishers, 1962.

B. Hall, Lie groups, Lie algebras and representation. Springer - GTM 222, 2015.

 

 

MATE - 7086       ANÁLISE NO RN

 

Topologia do espaço euclidiano. Limite e continuidade. Aplicações diferenciáveis entre espaços euclidianos. Derivada como transformação linear. O gradiente. Regra da cadeia. Fórmula de Taylor. Teorema da função inversa: forma local das imersões e submersões; funções implícitas. Superfícies. Multiplicadores de Lagrange. Integrais múltiplas. Integral superior e integral inferior de uma função limitada num retângulo. Mudanças de variáveis em integrais múltiplas.

 

Bibliografia:

Robert G. Bartle. The Elements of Real Analysis, 1964.

Lima, E.L., Curso de Análise. Vol. 1, IMPA, 2019.

Lima, E.L., Curso de Análise. Vol. 2, IMPA, 2014.

Robert Bartle e D. Sherbert, Introduction to Real Analysis, John Wiley and Sons, 2000.

V. M. Spivak, Calculus on Manifolds, 1965.

Munkres, James R. Analysis On Manifolds,  Westview Press, eBook Published -2018.

 

 

MATE – 7087      VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS I

 

Variedades e aplicações diferenciáveis, Espaço Tangente, Subvariedades, Quocientes, Campos Vetoriais, Folheações e Teorema de Frobenius, Grupos e Álgebras de Lie, Formas diferenciais, Diferencial e Cálculo de Cartan, Integração em Variedades, Teorema de Stokes.             

 

Bibliografia:

Rui Loja Fernandes, Lições de Geometria Diferencial, IST Lisboa. Spivak, M., A comprehensive introduction to differential geometry, Vol. 1, PublishorPerish, 1985.

Lee, J.,  Introduction to smooth manifolds? , Springer Verlag, 2003.

F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer.

 

 

MATE – 7088      GEOMETRIA SIMPLÉTICA

 

Parte 1 - Estruturas Simpléticas: Espaços vetoriais simpléticos e Equações de Hamilton.Variedades simpléticas e simplectomorfismos. Exemplos de variedades simpléticas: Fibrados cotangentes, superfícies, órbitas coadjuntas, espaço projetivo complexo. Subvariedades Lagrangianas, Exemplos. Formalismo Hamiltoniano, Formalismo Lagrangeano, Transformada de Legendre. Parte 2  Simetrias: Revisão de grupos de Lie e álgebras de Lie. Ações simpléticas. Ações Hamiltonianas e Aplicações momento. Redução de Marsden-Weinstein. Exemplos de quocientes simpléticos. Teorema de Kostant (Órbitas coadjuntas como espaços homogêneos simpléticos). Parte3- Estruturas Poisson: Bivetores e derivações. Variedades Poisson. Estrutura Poisson no dual de uma álgebra de Lie. Morfismos Poisson. Aplicações momento como morfismos Poisson.     

 

Bibliografia:

Cannas da Silva, A., Lectures on symplectic geometry, Lectures Notes in Mathematics, Springer Verlag. 

Marsden, J., Ratiu, T., Introduction to mechanics and symmetries, Texts in Applied Mathematics Vol.17, Springer Verlag. 

V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer Verlag, Second Edition.

 

 

MATE – 7090      ÁLGEBRAS E MÓDULOS

 

Álgebras, Módulos sobre álgebras, homomorfismos, soma direta e produto direto; módulo livre, módulos projetivos e injetivos, resolução projetiva e injetiva; sequências exatas, lema da serpente, pull-back, pushout, tensores e o Teorema de Watts. Álgebras de Grupos, Teorema de Maschke, Álgebras de Polinômios, Teorema da Decomposição Primária e Forma de Jordan, Teorema de Higman, Álgebras de Nakayama. Teoria de Morita; Álgebras Semi-Simples e Teorema de Wedderburn-Artin; Condições de Cadeia e Módulos artinianos e noetherianos; O socle e o radical de módulos e de álgebras, cobertura projetiva e envolvente injetiva. Funtores Derivados.             

 

Bibliografia:

F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer, 1991.

I. Assem, P. Y. Leduc, Cours d'algèbre. Presses Internationales Polytechnique, 2009.

I. Assem, Algèbres et modules - Cours et exercices, Les Presses de l'Université d'Ottawa, 1997. 

MY. A. Drozd, V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer, 1994. 

N. Jacobson, Basic Algebra I (2nd Edition). Dover, 2009.

N. Jacobson, Basic Algebra II (2nd Edition). Dover, 2009.

T.Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Graduate Texts in Mathematics 131, Springer, 2nd edition, 2001.

T.Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics 189, Springer, 1999.

R. Martinez-Villa, Introduccion a la Teoria Clasica de Representaciones de Algebras, Universidad Nacional Autonoma de Mexico, 1990.

J.J. Rotman, Advanced Modern Algebra (3rd Edition, Part I), American Mathematical Society, 2015. 

J.J. Rotman, Advanced Modern Algebra (3rd Edition, Part II), American Mathematical Society, 2017.

K. Erdmann, T. Holm, Algebras and Representation Theory (Springer Undergraduate Mahtematics Series). First Edition 2018. 

 

 

 

MATE7091 – SEMINÁRIOS EM MATEMÁTICA I

 

Apresentação de palestras e seminários organizados pelo professor responsável e proferidos por professores, pesquisadores e alunos de pós-graduação sobre temas relevantes na área de Matemática ou Matemática Aplicada.

 

Bibliografia:

Variável.

 

 

MATE7092 – SEMINÁRIOS EM MATEMÁTICA II

 

Apresentação de palestras e seminários organizados pelo professor responsável e proferidos por professores, pesquisadores e alunos de pós-graduação sobre temas relevantes na área de Matemática ou Matemática Aplicada.

 

Bibliografia:

Variável.

 

 

 

MATE7093 – SEMINÁRIOS EM MATEMÁTICA III

 

Apresentação de palestras e seminários organizados pelo professor responsável e proferidos por professores, pesquisadores e alunos de pós-graduação sobre temas relevantes na área de Matemática ou Matemática Aplicada.

 

Bibliografia:

Variável.

 

  

 

 

MATE 7094 – TÓPICOS EM MATEMÁTICA I

Disciplina de conteúdo e bibliografia variáveis para atender a temas emergentes de acordo com o docente responsável e demandas das linhas de pesquisa. Disciplina de conteúdo e bibliografia variáveis para atender a temas emergentes de acordo com o docente responsável e demandas das linhas de pesquisa.

Bibliografia:

Variável

 

 

MATE 7095 – TÓPICOS EM MATEMÁTICA II

Disciplina de conteúdo e bibliografia variáveis para atender a temas emergentes de acordo com o docente responsável e demandas das linhas de pesquisa. Disciplina de conteúdo e bibliografia variáveis para atender a temas emergentes de acordo com o docente responsável e demandas das linhas de pesquisa.

Bibliografia:

Variável


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